ما هما نوعان من الخطوط؟
تُستخدم الخطوط على نطاق واسع في إنشاءات رياضية لها تطبيقات مختلفة في رسومات الكمبيوتر والرسوم المتحركة والتصميم الهندسي. وهي عبارة عن منحنيات أو أسطح يتم تحديدها بواسطة مجموعة من نقاط التحكم والوظائف الرياضية. تعتبر الخطوط ضرورية للتمثيل السلس والدقيق للأشكال والحركات المعقدة. هناك عدة أنواع من الخطوط، لكن هذه المقالة ستركز على النوعين الأكثر شيوعًا: منحنيات بيزيير والخطوط B.
منحنيات بيزييه
تمت تسمية منحنيات بيزييه على اسم المهندس الفرنسي بيير بيزييه، الذي قدمها لأول مرة في الستينيات أثناء عمله في رينو. يتم تعريف هذه المنحنيات بنقطتي تحكم على الأقل، تعرفان بنقاط الربط. يتم تحديد شكل المنحنى من خلال موضع نقاط التحكم هذه، بالإضافة إلى نقاط التحكم الإضافية المعروفة باسم المقابض أو مقابض التحكم.
أبسط شكل لمنحنى بيزير هو منحنى بيزير الخطي، والذي يتم تعريفه بنقطتي تحكم - نقطة البداية ونقطة النهاية. ينحرف المنحنى بسلاسة بين هاتين النقطتين. معادلة منحنى بيزيير الخطي واضحة ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:
B(t) = (1-t) * P0 + t * P1
حيث B(t) هو الموضع على المنحنى عند المعلمة t (يتراوح من {{0}} إلى 1)، وP0 هي نقطة البداية، وP1 هي نقطة النهاية.
يتم تعريف منحنيات بيزيير التربيعية بثلاث نقاط تحكم - نقطة البداية، ونقطة النهاية، ونقطة تحكم إضافية تؤثر على انحناء المنحنى. يمر المنحنى عبر نقطتي البداية والنهاية، ولكن ليس بالضرورة عبر نقطة التحكم. معادلة منحنى بيزيير التربيعي هي:
B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * (1-t) * t * P1 + t^2 * P2
تحتوي منحنيات بيزير المكعبة، وهي الأكثر استخدامًا، على أربع نقاط تحكم - نقطة بداية، ونقطة نهاية، ونقطتي تحكم إضافيتين. يندمج المنحنى بسلاسة بين نقطتي البداية والنهاية، بينما تؤثر نقاط التحكم على شكل المنحنى. معادلة منحنى بيزيير المكعب هي:
B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * (1-t)^2 * t * P1 + 3 * (1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3
تحتوي منحنيات بيزير على مجموعة من التطبيقات، بما في ذلك التصميم بمساعدة الكمبيوتر (CAD)، ورسومات الكمبيوتر، والرسوم المتحركة. فهي سهلة التنفيذ وتوفر تحكمًا بديهيًا في شكل المنحنى. عيبها الرئيسي هو أن تأثير نقاط التحكم محلي، مما يعني أن تغيير نقطة تحكم واحدة يؤثر فقط على جزء صغير من المنحنى.
ب-الخطوط
الخطوط B، وهي اختصار للخطوط الأساسية، هي نوع من المنحنيات أو الأسطح المحددة جزئيًا. على عكس منحنيات بيزيير، تستخدم الخطوط B مجموعة من نقاط التحكم والوظائف الأساسية الرياضية لتحديد المنحنى. تعد الخطوط B أكثر مرونة وتنوعًا من منحنيات بيزييه، لأنها تسمح بالاستكمال السلس والتحكم في شكل المنحنى.
يتم تعريف الخطوط B بخاصيتين رئيسيتين: ناقل العقدة والوظائف الأساسية. ناقل العقدة عبارة عن سلسلة من القيم غير المتناقصة التي تحدد موضع نقاط التحكم وتأثيرها. الوظائف الأساسية هي وظائف رياضية تحدد كيفية مساهمة نقاط التحكم في شكل المنحنى.
يتم تعريف منحنيات B-spline عبر نطاق من قيم المعلمات، والتي يتم تقسيمها إلى فترات أو مقاطع. ولكل قطعة مجموعة من نقاط التحكم التي تؤثر على شكلها. يتم إنشاء المنحنى عن طريق مزج هذه المقاطع معًا باستخدام الوظائف الأساسية. تعتمد سلاسة المنحنى على ترتيب الوظائف الأساسية وعدد نقاط التحكم.
تتمتع الخطوط B بالعديد من المزايا مقارنة بمنحنيات بيزيير. وهي توفر تحكمًا شاملاً في شكل المنحنى، مما يعني أن تغيير نقطة تحكم واحدة يؤثر على المنحنى بأكمله. كما أنها تسمح بالاستكمال السلس، حيث يمر المنحنى عبر بعض أو كل نقاط التحكم. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن تمثل الخطوط B الأشكال والحركات المعقدة بشكل أكثر دقة من منحنيات بيزيير.
في الختام، منحنيات Bezier وB-splines هما النوعان الأكثر شيوعًا من الخطوط المستخدمة في رسومات الكمبيوتر والرسوم المتحركة والتصميم الهندسي. يتم تحديد منحنيات بيزيير من خلال نقاط التحكم وتوفر تحكمًا محليًا في شكل المنحنى، بينما تستخدم الخطوط B ناقل العقدة والوظائف الأساسية لتوفير التحكم الشامل والاستيفاء السلس. يعد فهم هذين النوعين من الخطوط أمرًا ضروريًا لإنشاء تمثيلات سلسة ودقيقة للأشكال والحركات المعقدة.
